Question

设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵.

Answer 1

证: 对任一n维向量x≠0

因为 r(A)=n, 所以 Ax≠0 -- 这是由于AX=0 只有零解

所以 (Ax)'(Ax) > 0.

即有 x'A'Ax > 0

所以 A'A 为正定矩阵.

注: A' 即 A^T