(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中,AA 1 ⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,A

1个回答

  • (Ⅰ)略

    (Ⅱ)

    (Ⅲ)略

    (I)证明:

    连接B 1C,与BC 1相交于O,连接OD

    ∵BCC 1B 1是矩形,

    ∴O是B 1C的中点.

    又D是AC的中点, ∴OD//AB 1.………………………………………………2分

    ∵AB ­1

    面BDC ­1,OD

    面BDC 1

    ∴AB 1//面BDC 1.…………………………………………4分

    (II)如力,建立空间直角坐标系,则

    C 1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),

    D(1,3,0)……………………5分

    =(x 1,y 1,z 1)是面BDC 1的一个法向量,则

    .…………6分

    易知

    =(0,3,0)是面ABC的一个法向量.

    .…………………………8分

    ∴二面角C 1—BD—C的余弦值为

    .………………………………9分

    (III)假设侧棱AA 1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC 1.

    ∴方程组无解.

    ∴假设不成立.

    ∴侧棱AA 1上不存在点P,使CP⊥面BDC 1.……………14分