Question

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，AA 1 ⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，A

Answer 1

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

（Ⅲ）略

（I）证明：

连接B ₁C，与BC ₁相交于O，连接OD

∵BCC ₁B ₁是矩形，

∴O是B ₁C的中点.

又D是AC的中点， ∴OD//AB ₁.………………………………………………2分

∵AB _­1

面BDC _­1，OD

面BDC ₁，

∴AB ₁//面BDC ₁.…………………………………………4分

（II）如力，建立空间直角坐标系，则

C ₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

D（1，3，0）……………………5分

设

=（x ₁，y ₁，z ₁）是面BDC ₁的一个法向量，则

即

.…………6分

易知

=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

.…………………………8分

∴二面角C ₁—BD—C的余弦值为

.………………………………9分

（III）假设侧棱AA ₁上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC ₁.

则

∴方程组无解.

∴假设不成立.

∴侧棱AA ₁上不存在点P，使CP⊥面BDC ₁.……………14分