如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 ,AC,BD相交于点O.

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  • (1)∵四边形ABCD是菱形,

    ∴△AOB为直角三角形,且OA=

    AC=1,OB=

    BD=

    在Rt△AOB中,由勾股定理得:

    AB=

    (2)①△AEF是等边三角形.

    理由如下:

    ∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2,

    ∴△ABC与△ACD均为等边三角形,

    ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,

    又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,

    ∴∠BAE=∠CAF.

    在△ABE与△ACF中,

    ∵∠BAE=∠CAF ,AB=AC=2 ,∠EBA=∠FCA=60°,

    ∴△ABE≌△ACF(ASA),

    ∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形,

    又∵∠EAF=60°,

    ∴△AEF是等边三角形.

    ②BC=2,E为四等分点,且BE>CE,

    ∴C

    E=

    ,BE=

    由①知△ABE≌△ACF,∴CF=BE=

    ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理),

    ∠AEG=∠FCG=60°(等边

    三角形内角),∠EGA=∠CGF(对顶角)

    ∴∠EAC=∠GFC.

    在△CAE与△CFG中,

    ∵ ∠EAC=∠GFC ,∠ACE=∠FCG=60°,

    ∴△CAE∽△CFG ,∴

    ,即

    解得:CG=