1、证明：
∵∠ACB＝90
∴∠A+∠ABC＝90
∵D为AB的中点
∴BD＝CD （直角三角形中线特性）
∴∠BCD＝∠ABC
∴∠A+∠BCD＝90
∵BE⊥CD
∴∠CBE+∠BCD＝90
∴∠A＝∠CBE
2、证明：取DE的中点F,连接AF,设∠CBA＝3K
∵∠CBE＝1/3∠CBA,∠CBA＝3K
∴∠CBE＝K
∴∠ABE＝∠CBA-∠CBE＝2K
∵AD∥BC,∠C=90
∴∠DAC＝∠C＝90,∠D＝∠CBE＝K
∵F是DE的中点
∴AF＝DF＝1/2DE （直角三角形中线特性）
∴∠DAF＝∠D＝K
∴∠AFE＝∠D+∠DAF＝2K
∴∠AFE＝∠ABE
∴AF＝AB
∴AB＝1/2DE
∴DE＝2AB
3、
1）、证明：
∵BE⊥AC
∴∠H+∠HAE＝90
∵∠CAD＝∠HAE
∴∠H+∠CAD＝90
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝∠ADC＝90
∵F是BH的中点
∴DF＝HF
∴∠FDH＝∠H
∵G是AC的中点
∴DG＝AG
∴∠ADG＝∠CAD
∴∠FDG＝∠FDH+∠ADG＝∠H+∠CAD＝90
2）∠ABC＝45°
证明：
∵等腰RT△FDG
∴DF＝DG
∵F是BH的中点
∴BH＝2DF
∵G是AC的中点
∴AC＝2DG
∴BH＝AC
∵AD⊥BC
∴∠C+∠CAD＝90
∵∠H+∠CAD＝90
∴∠C＝∠H
∴△HBD≌△CAD （AAS）
∴AD＝BD
∴∠ABC＝45°