Question

如图，在直角坐标系xoy中，已知两点O 1 （3，0）、B（-2，0），⊙O 1 与x轴交于原点O和点A，E是y轴上的一

Answer 1

（1）由已知得BE是⊙O ₁的切线，

设切点为M，连接O ₁M，则O ₁M⊥BM，

∴O ₁M=3，BM=4，又OE⊥BO，

∴△BOE ∽ △BMO，

∴

OE

O 1 M =

OB

BM ，

∴

m

3 =

2

4 ，

∴m=

3

2 ，

设此时直线BE的解析式是y=kx+m，

将B（-2，0）及m=

3

2 代入上式，解得k=

3

4 ，

∴y=

3

4 x +

3

2 ，

由圆的对称性可得：m=-

3

2 ，直线BE也与⊙O ₁相切，

同理可得：y ₂=-

3

4 x-

3

2 ；

（2）当m ＞

3

2 或m＜-

3

2 时，直线与圆相离，

当m=

3

2 或m=-

3

2 时，直线与圆相切，

当 -

3

2 ＜m＜

3

2 时，直线与圆相交；

（3）当直线BE与⊙O ₁相切时，显然存在另一条直线BF也与⊙O ₁相切，

设直线BE、BF与⊙O ₁相切于点M、N，连接O _1M、O ₁N，有O _1M⊥BM，O _1N⊥BN，由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α，

sinα=

O 1 M

B O 1 =

3

5 ，

cosα=

BM

B O 1 =

4

5 ，

过E作EH⊥BF于H，在△BEF中，

由三角形等积性质得；EH•BF=EF•BO，

BF=BE=

5

2 ，EF=2m=3，BO=2，

∴EH=

12

5 ，

sin2α=sin∠EBF=

EH

BE =

12

5

5

2 =

24

25 ，

由此可得：sin2α-2sinα•cosα=

24

25 -

3

5 ×

4

5 ×2=0．