Question

设集合M={x||x-a|≤（a-1）2}，N={x|x2-3ax+3a-1≤0}，且M∪N=N，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：把集合M中的不等式去绝对值，集合N中的不等式因式分解，然后根据M和N的关系对a分类讨论求解a的范围．

由|x-a|≤（a-1）²，得-a²+3a-1≤x≤a²-a+1．

又x²-3ax+3a-1=（x-3a+1）（x-1）．

由M∪N=N，∴M⊆N．

（1）当a≤

2

3时，N={x|3a-1≤x≤1}．

由M⊆N，

得

−a2+3a−1≥3a−1

a2−a+1≤1，解得a=0；

（2）当a＞

2

3时，N={x|1≤x≤3a-1}．

由M⊆N，

得

−a2+3a−1≥1

a2−a+1≤3a−1，解得

1≤a≤2

2−

2≤a≤2+

点评：

本题考点： 一元二次不等式的解法；并集及其运算．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．