Question

已知数列{an}满足a1=1，a1+a2+…+an-1-an=-1（n≥2且n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1可⇒a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1，二式作差可得即

a

n+1

a

n

=2（n≥2），再求得

a

2

a

1

=2即可判断数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；

（Ⅱ）利用等差数列的概念可判断{d_n}是以d₁=1+2log_a2为首项，以2log_a2为公差的等差数列，由

S

2n

S

n

=

2+(4n+2)

log

a

2

1+(n+1)

log

a

2

=λ，结合

S

2n

S

n

恒为一个与n无关的常数λ可得到关于λ的方程组，解之即可．

（Ⅰ）由题a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①

∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②

由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an=2（n≥2）…（3分）

当n=2时，a₁-a₂=-1，

∵a₁=1，

∴a₂=2，

a2

a1=2，

所以，数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，

故a_n=2^n-1（n∈N^*）…（5分）

（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，

∴d_n=1+loga

a2n+1+

a2n+2

5=1+2nlog_a2，

∵d_n+1-d_n=2log_a2，

∴{d_n}是以d₁=1+2log_a2为首项，以2log_a2为公差的等差数列，…（8分）

∴

S2n

Sn=

2n(1+2loga2)+

2n(2n−1)

2×(2loga2)

n(1+2loga2)+

n(n−1)

2×(2loga2)

=

2+(4n+2)loga2

1+(n+1)loga2=λ⇒（λ-4）nlog_a2+（λ-2）（1+log_a2）=0…（10分）

∵

S2n

Sn恒为一个与n无关的常数λ，

∴

(λ−4)loga2＝0

(λ−2)(1+loga2)＝0，

解之得：λ=4，a=[1/2]…（12分）

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查转化思想与方程思想，属于难题．