Question

关于相似矩阵的特征向量相似的矩阵必有相同的特征值 是否必有相同的特征向量?正确的请给出证明 错误请举反例

Answer 1

相似的矩阵必有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量.

如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P,有P^(-1)*A*P＝B.

det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A),

即B的特征多项式与A的特征多项式相同,故有相同的特征值.如果A的特征向量是a的,则B的特征向量就是Pa,设x是相应的特征向量,故Ax＝ax,于是

BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx.