解题思路：首先设AE=2x，BE=x，由题意可证得△BAF≌△ADE，即可得BF=AE=2x，然后由勾股定理求得AF的长，又可求得△AEG∽△AFB，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
设AE=2x，BE=x，
则AB=AE+BE=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AB=DA，
∴∠DAG+∠BAF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGE=∠EGD=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
∵
∠B＝∠DAE
∠BAF＝∠ADE
AB＝DA，
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴BF=AE=2x，
在Rt△ABF中，AF=
AB2+BF2=
13x，
∵∠AGE=∠B=90°，∠BAF=∠GAE，
∴△AEG∽△AFB，
∴
S△AEG
S△AFB=（[AE/AF]）2=（
2x
13x）2=[4/13]，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积为：13-4=9．
故答案为：9．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．