解题思路:(1)利用变换f的定义易求;
(2)设Ak中有lk个10数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的10数对得到,从而有bk+1=lk,Ak+1中的10数对有两个产生途径:①由Ak中的1得到; ②由Ak中00得到,由变换f的定义及A:1,0,1可得Ak中0和1的个数总相等,且共有3×2k个,从而可得Ak+1中的10数对的个数lk+1=bk+3×2k-1,则bk+2=bk+3×2k-1,分k为奇数、偶数讨论,用累加法可得答案;
(1)由变换f的定义知,当n=3时,A1有6项,A2中的项数为12,
(2)设Ak中有lk个10数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的10数对得到,
∴bk+1=lk,Ak+1中的10数对有两个产生途径:①由Ak中的1得到; ②由Ak中00得到,
由变换f的定义及A:1,0,1可得Ak中0和1的个数总相等,且共有3×2k个,
∴lk+1=bk+3×2k-1,
∴bk+2=bk+3×2k-1,
由A:1,0,1可得A1:1,0,0,1,1,0;A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,
∴b1=1,b2=2,
当k≥3时,
若k为偶数,bk=bk-2+3×2k-3,bk-2=bk-4+3×2k-5,…b4=b2+3×2.
上述各式相加可得bk=2+3×2+3×23+…+3×2k-3=2+3×
2(1−4
k−2
2)
1−4=2k-1,
经检验,k=2时,也满足bk=2k-1.
若k为奇数,bk=bk-2+3×2k-3,bk-2=bk-4+3×2k-5,…,b3=b1+3×20,
上述各式相加可得bk=1+3×1+3×22+3×24+…+3×2k-3=1+3×
1−4
k−1
2
1−4=2k-1,
经检验,k=1时,也满足bk=2k-1.
综上,bk=2k-1.
故答案为:(1)12;(2)bk=2k-1.
点评:
本题考点: 数列递推式.
考点点评: 本题主要考查了数列的概念及简单表示法,以及数列的求和,同时考查了分类讨论的思想,难度较大,对能力要求较高.