（1）∵点C（0,4）,
∴c=4,
∵点A的坐标为（4,0）,
∴0=16a-8a+4,
∴a=-12,
∴y=-12x2+x+4；
（2）∵△ABC与△ABM的面积相等,
C点坐标为：（0,4）,
∴M的纵坐标为：±4,
∴4=-12x2+x+4；
解得：x 1=0,x 2=2,
∴M点的坐标为：（2,4）,
当-4=-12x2+x+4；
解得：x 1=1+17,x 2=1-17,
∴M点的坐标为：（1+17,-4）或（1-17,-4）,
∴综上所述：M点的坐标为：（2,4）、（1+17,-4）或（1-17,-4）；
（3）∵B（-2,0,）,AB=6,
S△ABC=12×6×4=12,
设BQ=x,
∵EQ∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
∴（BQAB）2=S△BEQS△ABC=（x6）2,
∴S△BEQ=x236×12=13x2,
∴S△CQE=12x×4-13x2=-13x2+2x,
当x=-b2a=22×
13=3时,S△CQE面积最大,
∴Q点坐标为（1,0）；
（4）存在,
在△ODF中,
①若DO=DF,∵A（4,0）,D（2,0）,
∴AD=OD=DF=2,
又在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
∴∠DFA=∠OAC=45°,
∴∠ADF=90°,此时,点F的坐标为：（2,2）,
由-12x2+x+4=2,
解得：x1=1+5,x2=1-5,
此时,点P的坐标为：P（1+5,2）或P（1-5,2）；
②若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M,
由等腰三角形的性质得出：
OM=12OD=1,
∴AM=3,
∴在等腰三角形△AMF中,MF=MA=3,
∴F（1,3）,
由-12x2+x+4=3,
解得：x1=1+3,x2=1-3,
此时,点P的坐标为：P（1+3,3）或P（1-3,3）；
③若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=42,
∴点O到AC的距离为22,而OF=OD=2＜22,
∴此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,所求点P的坐标为：
P（1+5,2）或P（1-5,2）或P（1+3,3）或P（1-3,3）．