将边长为1的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小

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  • 解题思路:先设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形的周长和面积,从而得到S的解析式,对函数S进行求导,令导函数等于0求出x的值,根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值.

    设剪成的小正三角形的边长为x,则梯形的周长为3-x,

    梯形的面积为

    3

    4(1−x2),

    ∴S=

    (3−x)2

    3

    4(1−x2)(0<x<1),

    ∴S′=

    4

    3•

    −2(3x−1)(x−3)

    (1−x2)2,

    令S′=0,∵0<x<1,∴x=[1/3],

    当0<x<[1/3]时,S′<0,当[1/3]<x<1时,S′>0,

    ∴x=[1/3]时,S取极小值,也为最小值,且为

    32

    3

    3.

    故答案为:

    32

    3

    3.

    点评:

    本题考点: 函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 本题考查函数中的建模应用,以及函数的最值求法,考查导数知识的运用,属于中档题.