解题思路：此题先把常数k分离出来，再构造成
k≤
sin
πx
2
x
再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．
由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin
πx
2≥kx
（1）当x=0时，不等式sin
πx
2≥kx恒成立 k∈R
（2）当0＜x≤1时，不等式sin
πx
2≥kx可化为
k≤
sin
πx
2
x
要使不等式k≤
sin
πx
2
x恒成立，则k≤(
sin
πx
2
x)min成立
令f（x）=
sin
πx
2
x x∈（0，1]
即f'（x）=
π
2xcos
πx
2 −sin
πx
2
x2 再令g（x）=[π/2 xcos
πx
2−sin
πx
2]
g'（x）=-
π2
4xsin
πx
2
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min=f（1）=1即k≤1
综上所述，由（1）（2）得 k≤1
故此题答案为 k∈（-∞，1]．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．