解题思路：如图所示：先求出第一次窃取的正方体的体积，按要求确定出其棱长，代入正方体的体积公式即可；由第一次切割后的图形可知，此时的立体图形是：一部分的底面形状如图（2），高为12厘米，另一部分底面形状如图3高是3厘米．显然，第三次切下的尽可能大的正方体棱长为6厘米；于是用原体积减去两次切去的体积，即为剩下的体积．
第一次切下的尽可能大的正方体的棱长是12厘米，则体积为123=1728（立方厘米）；
这时剩余立体底面形状如图（1），其高是12厘米．
这样第二次切下的尽可能大的正方体棱长为9厘米，其体积是93=729（立方厘米）．
第二次切割后，剩下的立体可以看作是由两部分组成的：
一部分的底面形状如图（2），高为12厘米，另一部分底面形状如图3，高是3厘米．显然，第三次切下的尽可能大的正方体棱长为6厘米，其体积为63=216（立方厘米）．
所以，剩下的体积为21×15×12-1728-729-216=1107（立方厘米）．
答：剩下部分的体积是1107立方厘米．
点评：
本题考点： 图形的拆拼（切拼）；规则立体图形的体积．
考点点评： 此题主要考查图形的拆拼，用原体积减去两次切去的体积，即为剩下的体积．