如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME

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  • (1)证明:∵BC是⊙O的直径,

    ∴∠BAC=90°

    又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,

    ∴AM=ME,∠AMN=∠EMN

    又∵MN=MN,

    ∴△ANM≌△ENM;

    (2)证明:∵AB 2=AF·AC

    又∵∠BAC=∠FAB=90°,

    ∴△ABF∽△ACB

    ∴∠ABF=∠C

    又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°

    ∴FB是⊙O的切线;

    (3)由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN

    又∵AN∥ME

    ∴∠ANM=∠EMN

    ∴∠AMN=∠ANM,

    ∴AN=AM

    ∴AM=ME=EN=AN

    ∴四边形AMEN是菱形,

    ∵cos∠ABD=

    ,∠ADB=90°

    设BD=3x,则AB=5x,由勾股定理

    ,而AD=12,

    ∴x=3,

    ∴BD=9,AB=15

    ∵MB平分∠AME

    ∴BE=AB=15,

    ∴DE=BE=BD=6

    ∵ND∥ME,

    ∴∠BND=∠BME

    又∵∠NBD=∠MBE,

    ∴△BAD∽△BME,

    设ME=y,则ND=12-y,

    解得y=

    ∴S=ME·DE=

    ×6=45。