Question

已知函数f（x）=ax 3 -2bx 2 +3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

Answer 1

（1）由函数f（x）=ax ³-2bx ²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，

所以b=0，则f（x）=ax ³+3cx，f′（x）=3ax ²+3c．

又当x=1时，f（x）取极小值-

2

3 ，

所以

3a+3c=0

a+3c=-

2

3 ，解得 a=

1

3 ，c=-

1

3 ．

所以a=

1

3 ，b=0，c= -

1

3 ；

（2）由（1）得f（x）=

1

3 x 3 -x f′（x）=x ²-1

设x ₁，x ₂∈[-1，1]

若存在两点x ₁，x ₂，使得在这两点处的切线互相垂直，则 f ′ ( x 1 ) f ′ ( x 2 )=-1

即 ( x 1 x 2 ) 2 -( x 1 2 + x 2 2 )+2=0 ．

因为x ₁，x ₂∈[-1，1]，所以 ( x 1 x 2 ) 2 -( x 1 2 + x 2 2 )+2＞0 ．

所以不存在两点的切线互相垂直．