Question

已知f（x）=x2-x+k，log2f（a）=2，f（log2a）=k，a≠1．求f（log2x）的最小值及对应的x的值

Answer 1

解题思路：已知中f（x）=x²-x+k（m∈R）且f（log₂a）=2，log₂f（a）=k，a≠1，求出满足条件的a，k值，进而得到f（log₂x）解析式，结合复合函数、指数函数、二次函数的性质，即可求出f（log₂x）的最小值及对应的x值；

∵f（log₂a）=k，

∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+k=k

∴log₂a=1或log₂a=0，即a=2或a=1（舍）

∵a=2，∴f（a）=f（2）=2+k

∴log₂f（a）=log₂（2+k）=2，

∴k=2

∴f（x）=x²-x+2=（x-[1/2]）²+[7/4]

∴f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2

∴当log₂x=[1/2]，即x=

2时，f（log₂x）取最小值[7/4]

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的最值及其求法，对数函数的单调性与特殊点，对于此类问题，将log2x看成一个整体，利用二次函数的性质进行解答是关键．