Question

已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B

Answer 1

解题思路：（1）根据二次函数的判别式，可以判断函数的图象与x轴交点情况；

（2）把A点坐标为（-1，0）代入函数解析式，求出m的值，令y=0，求出一元二次方程的解即可；

（3）根据二次函数的性质判断其增减性；

（1）对于关于x的二次函数y=x²-mx+

m2+1

2，

由于△=（-m）²-4×1×

m2+1

2=-m²-2＜0，

所以此函数的图象与x轴没有交点；

对于关于x的二次函数y=x²-mx-

m2+2

2，

由于△=（-m）²-4×1×（-

m2+2

2）=3m²+4＞0

所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．

故图象经过A、B两点的二次函数为y=x²-mx-

m2+2

2；

（2）将A（-1，0）代入y=x²-mx-

m2+2

2，得1+m-

m2+2

2=0．

整理，得-m²+2m=0．

解之，得m=0，或m=2．

当m=0时，y=x²-1．

令y=0，得x²-1=0．

解这个方程，得x₁=-1，x₂=1，

此时，B点的坐标是B（1，0）；

当m=2时，y=x²-2x-3．

令y=0，得x²-2x-3=0．

解这个方程，得x₁=-1，x₂=3，

此时，B点的坐标是B（3，0）．

（3）当m=0时，二次函数为y=x²-1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0，

所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．

当m=2时，二次函数为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，此函数的图象开口向上，

对称轴为直线x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

考点点评： 主要考查了二次函数的与x轴交点的求法，以及二次函数的增减性．