Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线

Answer 1

解题思路：如图，易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有

C

2

6

＝15

条直线与直线BD₁垂直．与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直线

4×

C

2

3

＝12

条，而所有的直线共有

C

2

20

−12×(

C

2

3

−1)＝166

条，从而求得任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率．

如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，

容易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，

此时在正六边形上有

C26=15条直线与直线BD₁垂直．

与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，

共有直线4×

C23=12条．

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点，

任取2点连成直线数为

C220-12×(

C23-1)=166条直线

（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），

故对角线BD₁垂直的概率为[15+12/166=

27

166]．

故答案为 [27/166]．

点评：

本题考点： 古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．