Question

若函数f（x）=x3+ax+b有三个零点，分别为x1，x2，x3，且满足x1＜1，x2=1，x3＞1，则实数a的取值范围

Answer 1

解题思路：利用函数零点的取值可以判断，

因为x₂=1，所以f（1）=a+b=0，即b=-a，

所以f（x）=x³+ax+b=x³+ax+-a．

函数导数为f'（x）=3x²+a，因为f（x）=x³+ax+b有三个零点，所以f'（x）=0，有两个不等的实根，所以a＜0．

则由f'（x）=0得x═±

−

a

3．

即当x=−

−

a

3函数取得极大值，当x=

−

a

3时，函数取得极小值．

因为x₁＜1，x₃＞1，

所以

−

a

3＞1，解得a＜-3．

故选D．

点评：

本题考点： 函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题主要考查函数的零点的应用，以及利用导数研究函数的极值问题，要求熟练掌握导数和极值之间的关系．