Question

过椭圆x29+y24=1内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 ___ ．

Answer 1

解题思路：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．

设N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

9+

y12

4=1①，

x22

9+

y22

4=1②

①-②，可得：

(x1-x2)x

9+

(y1-y2)y

4=0

∴

y1-y2

x1-x2=-

4x

9y

∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，

当M、N不重合时，有kAB=

y

x-2

∴[y/x-2=-

4x

9y]

∴

9

4y2=-x(x-2)

∴(x-1)2+

9

4y2=1，（m≠2）

当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程(x-1)2+

9

4y2=1，

则N的轨迹方程为(x-1)2+

9

4y2=1，

故答案为：(x-1)2+

9

4y2=1

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．