Question

A是线性空间V的一个线性变换,试证如果α,Aα,…A∧k-1α线性无关,而α,Aα,…A∧kα线性相关,那么L(α,Aα

Answer 1

将A作用于L(α,Aα,…A∧k-1α）的基得到Aα,…A∧kα,由于α,Aα,…A∧kα线性相关,所以Aα,…A∧kα均能够由α,Aα,…A∧k-1α线性表出,所以是A-不变子空间；

假设U为A-不变子空间且包含α,那么也包含Aα,A^2α,……,A^kα,所以U包含L(α,Aα,…A∧k-1α）,也就是说L(α,Aα,…A∧k-1α）是包含α的最小的A-子空间