Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．

Answer 1

解题思路：（1）先证明△AOE≌△COF，得出OE=OF，再根据EF垂直平分AC，可得出四边形AFCE为菱形；（2）设AF=x，由AB=4，BC=8，得BF=8-x，根据勾股定理可得出AF的长，根据菱形的面积求解即可．

（1）证明：∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FOC，AOE=∠COF，

∴在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FOC

AO＝CO

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为菱形；（6分）

（2）设AF=x，

∵AB=4，BC=8，∴BF=8-x，

∴AF²=AB²+BF²，

∴x²=4²+（8-x）²，

∴x=5，

∴S_菱形AFCE=FC•AB=5×4=20，

∴菱形面积为20．（2分）

点评：

本题考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．