Question

下列自然现象的成因，与太阳活动有关的是（　　）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）在题目给出的递推式中取n=1求出a₁，取n=n+1得到第二个递推式，两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列，则通项公式可求；

（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a_n代入递推式b_n+1=b_n+a_n，然后利用累加法可求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的b_n代入c_n=

n(3−

b

n

)

2

，整理后利用错位相减法求c_n的前n项和T_n．

（Ⅰ）由S_n=2-a_n①

当n=1时，S₁=2-a₁，∴a₁=1．

取n=n+1得：S_n+1=2-a_n+1②

②-①得：S_n+1-S_n=a_n-a_n+1

即a_n+1=a_n-a_n+1，故有2a_n+1=a_n（n=1，2，3，…），

∵a₁=1≠0，∴a_n≠0，∴

an+1

an＝

1

2（n∈N^*）．

所以，数列{a_n}为首项a₁=1，公比为[1/2]的等比数列．

则a_n=(

1

2)n−1（n∈N^*）．

（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴bn+1−bn＝(

1

2)n−1，

则b2−b1＝(

1

2)0＝1，

b3−b2＝(

1

2)1＝

1

2，

b4−b3＝(

1

2)2，

…

bn−bn−1＝(

1

2)n−2．

将以上n-1个等式累加得：

bn−b1＝1+

1

2+(

1

2)2+(

1

2)3+…+(

1

2)n−2

=

1×[1−(

1

2)n−1]

1−

1

2

=2−

1

2n−2．

∴bn＝b1+2−

1

2n−2＝1+2−

1

2n−2=3−

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查了由递推式求数列的通项公式，考查了累加法，训练了错位相减法求数列的前n项和，涉及一个等差数列和一个等比数列的积数列，错位相减是求其前n项和重要的方法．此题是中档题．