Question

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写

Answer 1

（1）令y=0，则-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，

解得，x=-1或x=3，则A（-1，0），B（3，0）．

所以，对称轴是x=[3?1/2]=1．

令x=0，则y=0，则C（0，3）．

综上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b＝0

b＝3 ，

解得：k=-1，b=3．

所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．

当x=1时，y=-1+3=2，

∴E（1，2）．

当x=m时，y=-m+3，

∴P（m，-m+3）．

在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．

∴D（1，4）

当x=m时，y=-m²+2m+3，

∴F（m，-m²+2m+3）

∴线段DE=4-2=2，

线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m

∵PF∥DE，

∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．

由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．

S＝S△BCF＝S△BPF+S△CPF＝

1

2FP?OM+

1

2FP?BM=

1

2(?m2+3m)×3＝?

3

2m2+

9

2m．

m的变化范围是0≤m≤3．

（3）如图③，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此y_D-y_F=y_P-y_E．

于是4-（-m²+2m+3）=（-m+3）-2．

解得m₁=0（与点CE重合，舍去），m₂=1（与点E重合，舍去）．

因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．