Question

如图,在等腰RT△ABC中,∠ABC=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线与点

Answer 1

（1）AD⊥CF理由：∵△ABC为等腰三角形（已知）∴∠CBA=∠CAB=45°（等腰直角三角形的定义）∴AC=BC（等腰的定义）∵∠ACB=90°（已知）又∵BF∥AC（已知）∴∠FBC=90°（两直线平行,同旁内角互补）∴∠ACB=∠FBC（等量代换）∵D为BC中点（已知）∴BD=CD（中点的定义）∴∠ABF=45°（等量代换）∵DE⊥AB（已知）∴∠DEB=∠FEB=90°(垂直的定义)在△DBE和△FBE中 ∠ABF=∠ABD（等量代换）∵BE=BE（公共边） ∠DEB=∠FEB（已证）∴△DBE≌△FBE（ASA）∴DB=FB（全等三角形的对应边相等）∴BF=CD（等量代换）在△ACD和△CBF中 AC=BC（已证）∵∠ACB=∠CBF（已证） CD=BF（已证）∴△ACD≌△CBF（SAS）∴CF=AD（全等三角形的对应边相等）∠CAD=∠BCF（全等三角形的对应角相等）∵∠BCF+∠ACF=90°（已知）∴∠CAD+∠ACF=90°（等量代换）∴∠CGA=90°（直角三角形的定义）∴AD⊥CF（垂直的定义）（2）△ACF为等腰三角形理由：连接AF在△ADB和△AFB中 AC=BC（已证）∵∠ACB=∠CBF（已证） CD=BF（已证）∴△ADB≌△AFB（SAS）∴AD=AF(全等三角形的对应边相等)∵CF=AD（已证）又∵AD=AF（已证）∴CF=AF（等量代换）∴△ACF为等腰三角形（等腰三角形的定义）