含有一个根号的无理方程的解法
在两边平方前先整理方程,把含根号的项放到等号的左边,把不含根号的项移到等号的右边.
含两个根号的无理方程：
这种类型的无理方程需要对方程两边两次平方,在第一次平方前要检查一下两个根号是否放在等号的两边,第二次两边平方前,要仿照前面第一种类型的解题方法.
以后类推.
无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程),这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种.解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有:乘方法,配方法,因式分解法,设辅助元素法,利用比例性质法等.本讲将通过例题来说明这些方法的运用.
例1 解方程
解 移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2+3x-28=0,
所以 x1=4,x2=-7.
经检验知,x2=-7为增根,所以原方程的根为x=4.
说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程,往往会产生增根,应注意验根.
例2 解方程
方公式将方程的左端配方.将原方程变形为
所以
两边平方得
3x2+x=9-6x+x2,
两边平方得
3x2+x=x2+6x+9,
例3 解方程
即
所以
移项得
例4 解方程
解 三个未知量,一个方程,要有确定的解,则方程的结构必然是极其特殊的.将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x=1,y=2,z=3.
经检验,x=1,y=2,z=3是原方程的根.
例5 解方程
所以
将①两边平方,并利用②得
x2y2+2xy-8=0,
(xy+4)(xy-2)=0.
xy=2.③
例6 解方程
解 观察到题中两个根号的平方差是13,即
②÷①便得
由①,③得
例7 解方程
分析与解 注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).
设
则
u2-v2=w2-t2,①
u+v=w+t.②
因为u+v=w+t=0无解,所以①÷②得
u-v=w-t.③
②+③得u=w,即
解得x=-2.
经检验,x=-2是原方程的根.
例8 解方程
整理得 y3-1=(1-y)2,
即 (y-1)(y2+2)=0.
解得y=1,即x=-1.
经检验知,x=-1是原方程的根.
整理得 y3-2y2+3y=0.
解得y=0,从而x=-1.
例9 解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同,则可用合分比定理化简方程.
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2.解得x=±2a.
经检验,x=±2a是原方程的根.
【无理方程的解法】
(1)将它两边乘方化成有理方程去解,解出后要检验它的根．(2)换元,设出辅助未知数．
x2－20x+100=4(x+5)
x2－24x+80=0
x1=4,x2＝20．
经检验：x=4是增根,x=20为原方程的根．
说明：在方程中含有两个以上根式时,要将它分散在方程的两边再进行乘方．
t=t2－20
t2－t－20=0
解 出t1=5,t2=－4．
说明：出现相同的代数式时,可利用换元把无理方程化成有理方程,求出辅助未知数后再解．