解题思路：（1）求出f（x）的导数，令f′（x）=0，解出极值点和单调区间，并把端点值-1，1代入进行比较，求出最值，从而求a、b的值；
（2）分两种情况：①当切点为P（2，1）时，②当切点P不是P（2，1）时，根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标，根据设出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，进而得到切点坐标，最后根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（3）先求出f′（x）=0时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．
（1）由已知得，f'（x）=3x2-3ax，…（1分）
由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．…（2分）
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．…（4分）
又f(1)＝1−
3
2a+1＝2−
3
2a，f(−1)＝−1−
3
2a+1＝−
3
2a，∴f（-1）＜f（1）．
由题意得f（-1）=-2，即−
3
2a＝−2，得a＝
4
3．故a＝
4
3，b=1为所求．…（6分）
（2）：由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f'（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
①当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0． …（8分）
②当切点P不是P（2，1）时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），切线l的斜率k＝f′(x)|x＝x0＝3
x20−4x0，
∴l的方程为 y−y0＝(3
x20−4x0)(x−x0)．…（10分）
又点P（2，1）在l上，∴1−y0＝(3
x20−4x0)(2−x0)，
∴1−(
x30−2
x20+1)＝(3
x20−4x0)(2−x0)，∴
x20(2−x0)＝(3
x20−4x0)(2−x0)，
∴
x20＝3
x20−4x0，即2x0（x0-2）=0，∴x0=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1…（12分）
（ 或者：由①知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）
（3）：由题意F（x）=（x2+ax+a+1）•ex，
所以F′（x）=[x2+（2+a）x+2a+1]•ex…（13分）
令x2+（2+a）x+2a+1=0．
当△=a（a-4）＞0，即a＜0或a＞4时，方程x2+（2+a）x+2a+1=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，于是F（x）=ex（x-x1）（x-x2）从而有下表：
x （-∞，x1） x1（x1，x2） x2（x2，+∞）
F′（x） + 0 _ 0 +
F（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数即此时有两个极值点．…（16分）
②当△=a（a-4）=0，即a=0或a=4时，方程x2+（2+a）x+2a+1=0有两个相同的实根x1=x2，于是F/(x)＝ex(x−x1)2，此时无极值．…（16分）
③当△＜0，即0＜a＜4时，恒有F′（x）＞0，此时无极值．…（17分）
因此，当a＜0或a＞4时，F（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，F（x）无极值．…（18分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 此题主要考查利用函数的导数求极值点和单调区间，从而求出最值，注意极大值点不一定是最值点，以及利用导数研究曲线上某点切线方程．