如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长是1的正方形,侧棱BD⊥面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

1个回答

  • 题目中侧棱BD⊥面ABCD 应该是侧棱PD⊥面ABCD !

    !!

    1、证明:作CD中点O,连结OM、ON

    已知M,N分别是AB,PC的中点,那么:

    在正方形ABCD中易得:MO//AD

    在三角形PCD中,中位线ON//PD

    又AD、PD是平面PAD内的两条相交直线,而OM、ON是平面OMN内的两条直线

    所以由面面平行判定定理的推论可得:

    平面PAD//平面OMN

    又直线MN在平面OMN内

    所以:MN//平面PAD

    .

    设PD=m

    已知PD⊥面ABCD,那么:PD⊥AD

    由(1)知:MO//AD,ON//PD

    所以由等角定理有:∠MON=∠PDA=90°

    在Rt△OMN中,MO=AD=1,ON=PD/2=m/2,MN=x

    则由勾股定理有:MN²=MO²+ON²

    即:x²=1+ m²/4

    那么:m=2√(x²-1)

    所以四棱柱P-ABCD的体积:

    V(x)=(1/3)*PD*S正方形ABCD=(1/3)*m*1=(2/3)*√(x²-1)