Question

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,（1）求证平面AEC

Answer 1

（（1）证明：∵四边形ABCD是正方形ABCD,∴AC⊥DB．

∵PD⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,

∴PD⊥AC,

∵PD∩PB=P,

∴AC⊥面PDB,

∵AC⊂面AEC,

∴平面AEC⊥平面PDB；

设AC∩BD=O,则AO⊥BD

∵AO⊥PD,BD∩PD=D,

∴AO⊥面PDE,

∵AO=1,VA-PED=

1

3

•AO•S△PDE=

1

3

,

∴S△PDE=1

在直角三角形ADB中,DB=PD=2,则PB=

2

∴Rt△PDB中斜边PB的高h=

2

,

∴

1

2

•h•PE=1,

∴PE=

2

,

∴

PE

EB

=1

即E为PB的中点．