第一个问题：
∫［x/√（x^2＋x＋1）］dx
＝（1/2）∫［（2x＋1－1）/（x^2＋x＋1）］dx
＝（1/2）∫［（2x＋1）/（x^2＋x＋1）］dx－（1/2）∫［1/（x^2＋x＋1）］dx
＝（1/2）∫［1/（x^2＋x＋1）］d（x^2＋x＋1）－（1/2）∫｛1/［（x＋1/2）^2＋3/4］｝dx
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）－2∫｛1/［（2x＋1）^2＋3］｝dx
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）－∫｛1/［（2x＋1）^2＋3］｝d（2x＋1）
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）－（1/√3）∫｛1/［（1/3）（2x＋1）^2＋1］｝d［（2x＋1）/√3］
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）－（√3/3）arctan［（2x＋1）/√3］＋C
第二个问题：
∵∫［（x－6）/（x^2－6x＋8）］dx
＝∫｛（2x－8－x＋2）/［（x－2）（x－4）］｝dx
＝2∫［1/（x－2）］dx－∫［1/（x－4）］dx
＝2ln｜x－2｜－ln｜x－4｜＋C
∴∫（上限为1,下限为0）［（x－6）/（x^2－6x＋8）］dx
＝（2ln｜x－2｜－ln｜x－4｜）｜（上限为1,下限为0）
＝2ln｜1－2｜－ln｜1－4｜－（2ln｜0－2｜－ln｜0－4｜）
＝－ln3－2ln2＋ln4
＝－ln3
第三个问题：
∵∫［（x^3－5x－8）/（x^2－x－6）］dx
＝∫［（x^3－x^2－6x＋x^2－x－6＋2x－2）/（x^2－x－6）］dx
＝∫xdx＋∫dx＋2∫｛（x－1）/［（x－3）（x＋2）］｝dx
＝（1/2）x^2＋x＋（2/5）∫｛（2x＋4＋3x－9）/［（x－3）（x＋2）］｝dx
＝（1/2）x^2＋x＋（4/5）∫［1/（x－3）］dx＋（6/5）∫［1/（x＋2）］dx
＝（1/2）x^2＋x＋（4/5）ln｜x－3｜＋（6/5）ln｜x＋2｜＋C
∴∫（上限为1,下限为0）［（x^3－5x－8）/（x^2－x－6）］dx
＝［（1/2）x^2＋x＋（4/5）ln｜x－3｜＋（6/5）ln｜x＋2｜］｜（上限为1,下限为0）
＝1/2＋1＋（4/5）ln｜1－3｜＋（6/5）ln｜1＋2｜
－［（4/5）ln｜0－3｜＋（6/5）ln｜0＋2｜］
＝3/2＋（4/5）ln2＋（6/5）ln3－（4/5）ln3－（6/5）ln2
＝3/2＋（2/5）ln3－（2/5）ln2