Question

已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．．

Answer 1

（1）由抛物线定义知C的轨迹是抛物线，且p=2，

∴动圆圆心C的轨迹方程：x ²=4y（6分）

（2）设点 A( x 1 ，

x 1 2

4 )，B( x 2 ，

x 22

4 )

则直线AB的方程为： y-

x 21

4 =

x 22

4 -

x 21

4

x 2 - x 1 (x- x 1 ) ，

化简得： y=

x 2 + x 1

4 x-

x 1 x 2

4 （9分）

又因为 tanα=

x 21

4

x 1 =

x 1

4 ， tanβ=

x 22

4

x 2 =

x 2

4

由α+β=θ，得tanθ= tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ =

x 1 + x 2

4

1-

x 1 x 2

16

则 tanθ=

x 1 + x 2

4

1-

x 1 x 2

16 ，

所以

x 1 x 2

4 =4-

x 1 + x 2

tanθ （12分）

所以直线AB方程为 y=

x 2 + x 1

4 x-4+

x 1 x 2

tanθ

即 y=

x 2 + x 1

4 (x+

4

tanθ )-4

所以直线AB过定点 (-

4

tanθ ，-4) ．（15分）