在等差数列{an}中,a4S4=-14,S5-a5=-14,其中Sn是数列{an}的前n项之和,曲线Cn的方程是x2|a

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  • 解题思路:(1)利用等差数列{an}中,a4S4=-14,S5-a5=-14,可求首项与公差,从而可求求数列{an}的通项公式;

    (2)将曲线Cn与l的方程联立,利用判别式可求解;

    (3)利用(2)的结论,表达出Mn=(|an|+4)|AnBn|,再求Mn的最小值;

    (4)根据条件可类比得:若曲线Cn与直线l不相交,曲线Cn与直线l间“距离”是:曲线Cn上的点到直线l距离的最小值.

    由(2)知n=5时,曲线C5为圆,n=3,4时,曲线Cn为椭圆.以椭圆为例,利用参数法可解.

    (1)∵S5-a5=-14,∴S4=-14,

    又∵a4S4=-14,∴a4=1,

    ∵S4=-14=

    4(a1+a4)

    2=2(a1+1),

    ∴a1=-8,d=

    a4−a1

    3=3,

    ∴an=3n-11.

    (2)

    x2

    |an+

    y2

    4=1

    y=x+3⇒(|an|+4)x2+6|an|x+5|an|=0,

    由题意,知△=16(|an|2-5|an|)>0,即|an|>5,

    ∴3n-11>5或3n-11<-5,即n>

    16

    3或n<2,

    即n≥6或n=1时,直线l与曲线Cn相交于不同的两点.

    (3)由(2)当n≥6或n=1时,直线l与曲线Cn相交于不同的两点.Mn=(|an|+4)•|AnBn|=(|an+4|)•

    2•

    16(|an|2−5|an|)

    |an|+4=4

    2•

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;等差数列的通项公式;等差关系的确定;点到直线的距离公式.

    考点点评: 本题以数列为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系,关键是利用直线与圆锥曲线联立,借助于判别式进行解决.