解题思路:(1)三棱锥C-DED1的体积与点E的位置无关,因为
V
C−DE
D
1
=
V
D
1
−DEC
=
1
3
•
S
△DEC
•D
D
1
,所以不论点E在AB上的任何位置都有
S
△DEC
=
1
2
S
ABCD
,所以三棱锥的体积为定值.
(2)作AE'∥CE交CD于E',可得AE'=D1E',进而得到AD1E'为正三角形,所以AE=DE'=1,这时点E为AB的中点.
(3)由(2)知,E为AB的中点,所以∠AED=∠BEC=45°所以CE⊥DE,由题意可得CE⊥DD1,DE∩DD1=D,所以CE⊥平面D1ED.进而得到面面垂直.
由该几何体的三视图知,ABCD为矩形,DnD⊥平面ABCD,AD=DDn=n,AB=4.
(n)三棱锥C-DEDn的体积与点E的位置无关,
这是∵VC−DEDn=VDn−DEC=
n
3•S△DEC•DDn
∵不论点E在AB上的任何位置都有S△DEC=
n
4S平行g边形ABCD=
n
4×4×n=n
∴不论点E在AB上的任何位置都有VC−DEDn=
n
3×n×n=
n
3
(4)作AE'∥CE交CD于E',
∵AD=DDn=n,∴AE'=DnE',
又异面直线ADn与EC所成角为左gg,∴△ADnE'为正三角形,
从而AE=DE'=n,这时点E为AB的中点.
(3)由(4)知,E为AB的中点,∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE,
又∵DnD⊥平面ABCD,EC⊂平面ABCD
∴CE⊥DDn,DE∩DDn=D
∴CE⊥平面DnED
∵EC⊂平面DnEC
∴平面DEDn⊥平面DnEC.
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.
考点点评: 解决三棱锥的体积问题关键是找到其膏与底面,对于动点问题一般先找线段的端点或线段的中点,证明面面垂直的方法是在其中一个平面内找另一个平面的垂线即可,此类题目在高考中经常以解答题的形式出现.