解题思路:(1)由题设知这个无盖方盒的底面是边长为4-2x的正方形,高为x的正四棱柱,由此能把方盒的容积V表示为x的函数.
(2)由(1)知V=(4-2x)2x,0<x<2,求导数,令V′=0,得x1=[2/3],x2=2(舍).由此得到函数的单调增和单调减区间,能求出这个方盒容积的最大值和取到最大值时x的值.
由于是在边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形做成一个无盖方盒,
所以无盖方盒的底面为正方形,且边长为4-2x,高为x,
(1)所以,无盖方盒的容积V=(4-2x)2x,0<x<2,
(2)∵V=(4-2x)2x,∴V′=12x2-32x+16;
令:V′(x)=0,即12x2-32x+16=0,
∴x=
2
3或x=2,(0<x<2),
∴x=
2
3;
当x∈(0,
2
3)时,V′(x)>0;
当x∈(
2
3,2)时,V′(x)<0.
因此,x=
2
3是函数f(x)的极大值点,也就是最大值点,且最大值为[128/27].
点评:
本题考点: 基本不等式;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查方盒容积的求法,考查利用导数求方盒容积的最大值,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.