Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）

Answer 1

解题思路：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

①中，若f（x）=（x-1）²存在“稳定区间”，

如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；

②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“稳定区间”；

③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f（x）=cos[π/2]x的“稳定区间”；

④中，若f（x）=e^x存在“稳定区间”

则e^a+1=a，e^b+1=b

即e^x=x-1有两个解，即函数y=e^x与函数y=x-1的图象有两个交点，

这与函数y=e^x与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，

即f（x）=e^x不存在“稳定区间”

故选D．

点评：

本题考点： 余弦函数的定义域和值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．