Question

已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2−y2＝1有公共渐近线，且过点A（1，0）

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件设双曲线C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，把点A（1，0）代入，能求出双曲线C₁的标准方程．

（2）设|PF₂|=m，|PF₁|=n，由已知条件推导出|m-n|=2，由此利用余弦定理能求出mn=12，从而能求出△F₁PF₂的面积S．

（1）∵双曲线C₁：

x2

a2-

y2

b2=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2−y2＝1有公共渐近线，

∴设双曲线C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，

∵双曲线C₁过点A（1，0），

∴3=λ，∴双曲线C₁的标准方程为x2−

y2

3＝1．

（2）设|PF₂|=m，|PF₁|=n，

则|m-n|=2，

在△F₁PF₂中，由余弦定理有16=m²+n²-2mncos60°=|m-n|²+2mn-mn，

∴mn=12，

∴S＝

1

2mnsin60°＝

1

2×12×

3

2＝3

3．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．