Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5-a1=15，a4-a2=6．

Answer 1

解题思路：（1）根据等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1求出a₁和q，从而得到通项公式；

（2）因为c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，从而可求c_n，进而可求其倒数，利用裂项求和，从而可得其最小值，故可解．

（1）设等比数列的公比为q，由已知有a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，显然q≠1，

两式相除得2q²-5q+2=0⇒q=

1/2]或q=2，…2分

q=

1

2⇒a1=-16＜0舍去，…4分

q=2⇒a₁=1，⇒a_n=2^n-1（n∈N^*）…6分

（2）由已知有cn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2…8分

1

cn=

2

n(n+1)=2(

1

n-

1

n+1)

1

c1+

1

c2+

1

c3+…+

1

cn=2(1-

1

2+

1

2-

1

3-

1

4+…+

1

n-

1

n+1)=2(1-

1

n+1)＜2…10分

要

1

c1+

1

c2+

1

c3+…+

1

cn＜M恒成立，只需2≤M，所以M_min=2…12分

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题以等比数列为载体，考查等比数列的通项，考查裂项求和法的运用，属于中档题．