Question

设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小

Answer 1

解题思路：（ I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，利用二次函数的性质可得g（t）的解析式．

（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函数的单调区间，由单调区间求得函数的极值．

（ I）由于f(x)=-cos2x-4tsin

x

2cos

x

2+4t3+t2-3t+4=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3

=（sinx-t）²+4t³-3t+3．

由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3．…（6分）

（ II）我们有g′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

⊙⊙⊙⊙t⊙（-1，-[1/2]）⊙-[1/2]⊙（-[1/2]，[1/2]）⊙[1/2]⊙（[1/2]，1）⊙⊙g′（t）⊙+⊙0⊙-⊙0⊙+⊙⊙g（t）⊙↗⊙极大值g(-

1

2)⊙↘⊙极小值g(

1

2)⊙↗由此可见，g（t）在区间(-1，-

1

2)和(

1

2，1)单调增加，在区间(-

1

2，

1

2)单调减小，

极小值为g(

1

2)=2，极大值为g(-

1

2)=4．…（12分）

点评：

本题考点： 二倍角的余弦；函数在某点取得极值的条件；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求极值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．