已知函数f(x)=2ax2+4x-3-a,a∈R.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)当a=1时,则f(x)=2x2+4x-4=2(x2+2x)-4=2(x+1)2-6,由此可得f(x)的最大值f(1)的值.

    (Ⅱ)当a=0时,经检验满足条件.当a≠0时,令△=0求得a=-1,a=-2,经检验都满足条件.

    当f(-1)•f(1)≤0时,求出a的取值范围.当y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点时,

    利用二次函数的性质求得实数a的取值范围.再把以上实数a的取值范围取并集,即得所求.

    (Ⅰ)当a=1时,则f(x)=2x2+4x-4=2(x2+2x)-4=2(x+1)2-6.

    因为x∈[-1,1],所以x=1时,f(x)的最大值f(1)=2.…(3分)

    (Ⅱ)(1)当a=0时,f(x)=4x-3,显然在区间[-1,1]上有零点,所以a=0时,命题成立.…(4分)

    (2)当a≠0时,令△=16+8a(3+a)=8(a+1)(a+2)=0,解得a=-1,a=-2.…(5分)

    ①当a=-1时,f(x)=-2x2+4x-2=-2(x-1)2,f(x)的零点为 x=1,满足条件.

    ②当 a=-2时,f(x)=−4x2+4x−1=−4(x−

    1

    2)2,求得函数的零点 x=[1/2],满足条件.

    所以当 a=0,-1,-2时,y=f(x)均恰有一个零点在区间[-1,1]上.…(7分)

    ③当f(-1)•f(1)=(a-7)(a+1)≤0,即-1≤a≤7时,

    y=f(x)在区间[-1,1]上必有零点.…(8分)

    ④若y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,则

    a>0

    △=8(a+1)(a+2)>0

    −11

    a<1

    f(−1)≥0

    f(1)≥0,

    a<0

    △=8(a+1)(a+2)>0

    −11

    a<1

    f(−1)≤0

    f(1)≤0..…(12分)

    解得a≥7或a综上所述,函数f(x)在区间[-1,1]上存在极值点,实数a的取值范围是{a|a≥-1,或a≤-2},

    故答案为 {a|a≥-1,或a≤-2}.…(13分)

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,求函数的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的

    数学思想,属于中档题.