已知数列{an}为等差数列,且满足a2=3,a4+a5+a6=18,数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn+1

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  • 解题思路:(1)由已知条件,利用等差数列的通项公式列出方程组,求出公差和首项,由此能求出数列{an}的通项公式;再由数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn+1,构造等比数列,由此能求出数列{bn}的通项公式.

    (2)由已知条件推导出cn=an•bn=(n+1)•2n-n-1,由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn

    (1)∵数列{an}为等差数列,且满足a2=3,a4+a5+a6=18,设公差为d,

    a1+d=3

    a1+3d+a1+4d+a1+5d=18,

    解得a1=2,d=1,

    ∴an=n+1.

    ∵数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn+1,

    ∴bn+1+1=2(bn+1),b1+1=2,

    ∴{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列,

    ∴bn+1=2n,

    ∴bn=2n-1.

    (2)∵an=n+1,bn=2n-1,

    ∴cn=an•bn=(n+1)•(2n-1)=(n+1)•2n-n-1,

    ∴Tn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n-(1+2+…n)-n

    =2•2+3•22+…+(n+1)•2n+

    n(n+3)

    2,①

    2Tn=2•22+3•23+…+(n+1)•2n+1+(n2+3n),②

    ②-①,得:Tn=-4-22-23-…-2n+(n+1)•2n+1+

    n(n+3)

    2

    =(n+1)•2n+1+

    n(n+3)

    2-4-

    4(1−2n−1)

    1−2

    =n•2n+1+

    n(n+3)

    2.

    ∴Tn=n•2n+1+

    n(n+3)

    2.

    点评:

    本题考点: 数列的求和;数列递推式.

    考点点评: 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用,是中档题,解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用.