解题思路:(1)根据勾股定理易求AB的长;根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长.
(2)连接OD,证明DE⊥OD.
(1) ∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.
在Rt△ADB中,∵AD=3,BD=4,
∴由勾股定理得AB=5.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴△ABD∽△ACB,
∴[BD/AD]=[BC/AB],
即[4/3]=[BC/5],
∴BC=[20/3];
(2)证明:连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD;
又∵E是BC的中点,BD⊥AC,
∴DE=BE,
∴∠EDB=∠EBD.
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°,
即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD.
∴ED与⊙O相切.
点评:
本题考点: 切线的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: ①直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似;
②证过圆上一点的直线是切线,常作的辅助线是连接圆心和该点,证直线和半径垂直.