如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD.

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  • 解题思路:(1)根据勾股定理易求AB的长;根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长.

    (2)连接OD,证明DE⊥OD.

    (1) ∵AB为直径,

    ∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.

    在Rt△ADB中,∵AD=3,BD=4,

    ∴由勾股定理得AB=5.

    ∵∠ABC=90°,BD⊥AC,

    ∴△ABD∽△ACB,

    ∴[BD/AD]=[BC/AB],

    即[4/3]=[BC/5],

    ∴BC=[20/3];

    (2)证明:连接OD,

    ∵OD=OB,

    ∴∠ODB=∠OBD;

    又∵E是BC的中点,BD⊥AC,

    ∴DE=BE,

    ∴∠EDB=∠EBD.

    ∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°,

    即∠ODE=90°,

    ∴DE⊥OD.

    ∴ED与⊙O相切.

    点评:

    本题考点: 切线的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: ①直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似;

    ②证过圆上一点的直线是切线,常作的辅助线是连接圆心和该点,证直线和半径垂直.