Question

设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)若|f(0)|≤ 1,|f(1)|≤ 1,|f(-1)|

Answer 1

∵f(0)=c

f(1)=a+b+c

f(-1)=a-b+c

∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2

b=[f(1)-f(-1)]/2

c=f(0)

把它们代入到函数表达式里,再化简,得

|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+

(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+

|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤

|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=

|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2

当x≤0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=

-x^2-x+1≤5/4

当x>0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=

-x^2+x+1≤5/4.

综上所述,|f(x)|≤5/4.

我算的是可以取等号,就好像x=-1/2,f(1)=-1,f(0)=f(-1)=1时就可以.