Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛

Answer 1

解题思路：（1）由抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），故设其解析式为y=ax²+1，则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式，又由四边形OABC是平行四边形，则可求得点A与M的坐标；

（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H，即可证得△PQH∽△CMO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x与t的关系式；

（3）设△ABQ的边AB上的高为h，可得S_△BCM=[1/2]BM•OM=2，则又由S_△ABQ=2S_△BCM=[1/2]AB×h，即可求得点Q的坐标．

（1）∵抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），

故设其解析式为y=ax²+1，

则有：2=（-2）²×a+1，

得a=[1/4]，

∴此抛物线的解析式为：y=[1/4]x²+1，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB=OC=4，AB∥OC，

又∵y轴是抛物线的对称轴，

∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点，

则MA=MB=2，

即点A的横坐标是2，

则其纵坐标y=[1/4]×2²+1=2，

即点A（2，2），

故点M（0，2）．

（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H．

则∠QHP=∠MOC=90°，

∵PQ∥CM，

∴∠QPH=∠MCO，

∴△PQH∽△CMO，

∴[PH/CO＝

QH

MO]，

即[x−t/4＝

y

2]，

而y=[1/4]x²+1，

∴[x−t/4＝

1

2]（[1/4]x²+1），

∴t=-[1/2]x²+x-2；

（3）设△ABQ的边AB上的高为h，

∵S_△BCM=[1/2]BM•OM=2，

∴S_△ABQ=2S_△BCM=[1/2]AB×h=4，

∴h=2，

∴点Q的纵坐标为4，代入y=[1/4]x²+1，

得x=±2

3，

∴存在符合条件的点Q，其坐标为（2

3，4），（-2

3，4）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．