Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为BC中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线M

Answer 1

证明：过A作BC的垂线,交BC于G,连接DE,DM

∵AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形

又∵AD=2,BC=4,则BG=1

∴cosB=1/4

又∵△MBE为等腰三角形,则BE=2BMcosB=1

∴AE=3

在△ADE中：AE=3,AD=2,cosA=cos(π-B)=-cosB=-1/4

则利用余弦定理可知：DE=4

对于△DEM和△DCM：DE=DC=4,ME=MC=2,DM=DM(公共边)

则△DEM≌△DCM

∴∠DME=∠DMC

又∵AD//BM,且AD=BM=2,∴四边形ABMD为平行四边形

则AB//DM,∴∠B=∠DMC

∴∠B=∠DME

∴当F和D重合时,以上条件均成立

又∵当F不断靠近C时,∠FME逐渐变大

∴只有当F=D时,题目条件才成立,此时EF=4