Question

（2013•德惠市二模）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，将图1中△A

Answer 1

解题思路：由题意易证得四边形DECF是正方形，则可证得△AED∽△DFB，设DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=[4/3]x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面积，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，△ADE的面积，继而求得答案．

如图1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形DECF是矩形，

由旋转的性质可得：DE=DF，

∴四边形DECF是正方形，

∴AC∥DF，DE∥BC，

∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，

∴△AED∽△DFB，

∴[DE/BF＝

AD

BD]，

设DE=CE=CF=DF=x，

∴[x/BF＝

3

4]，

∴BF=[4/3]x，

在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，

∴4²=x²+（[4/3]x）²，

解得：x=[12/5]，

∴DF=[12/5]，BF=[16/5]，

∴S_△BDF=[1/2]DF•BF=[1/2]×[12/5]×[16/5]=[96/25]，

∵S_△BDF：S_△DAE=（[BD/AD]）²=[16/9]，

∴S_△ADE=[54/25]，

∴S_△ADE+S_△BDF=[54/25]+[96/25]=6．

故答案为：6．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；旋转的性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．