√(a²p+b²q) ≥ |ap+bq|
证：由题 q = 1-p (0 ≤ p,q ≤ 1) ①
|ap+bq|² = a²p² + b²q² + 2abpq 代入①
= a²p² + b²(1-p)² +2abp(1-p)
= (a²-2ab+b²)p² + (2ab-2b²)p + b² ②
[√(a²p+b²q)]² = a²p + b²q 代入①
= a²p + b²(1-p)
= (a²-b²)p + b² ③
③ - ② = -(a-b)²p² + (a²-2ab+b²)p
= -(a-b)²p² + (a-b)²p
令 t = (a-b)² ≥ 0,函数 f(p) = -(a-b)²p² + (a-b)²p
= -tp² + tp t∈[0,+∞) ,p∈[0,1]
令 f(p) = 0 得 p = 0,1 又f(p) = -t(p - 1/2)² + t/4
≤ t/4 ≥ 0 当且仅当 p = 1/2 时取等
故函数 f(p) 在 [0,1] 上值域为 [0,t/4] 有 f(p) ≥ 0 p∈[0,1]
即 ③ - ② ≥ 0
即 [√(a²p+b²q)]² - |ap+bq|² ≥ 0
又√(a²p+b²q) ≥ 0,|ap+bq| ≥ 0
故√(a²p+b²q) ≥ |ap+bq| 其中 p ≥ 0,q ≥ 0,p+q = 1
得证 当 a=b 或 p,q 中任一为1时取等
要点* 比较大小通常可对根式和绝对值平方
**做差、商等也是常见的比较大小方法