Question

（2012•韶关二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）设出等比数列{a_n}的公比为q，若q为1，由首项a₁，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，得到S₁，2S₂，3S₃不成等差数列，矛盾，故q不为1，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，根据S₁，2S₂，3S₃成等差数列，利用等差数列的性质列出关于q的方程，求出方程的解得到q的值，首项a₁及q的值，利用等比数列的通项公式即可得到数列{a_n}通项公式；

（2）将第一问得出的数列{a_n}通项公式代入b_n=a_n+n中，得到数列{b_n}的通项公式，列举出数列{b_n}前n项和T_n的每一项，结合后根据数列{a_n}的前n项和S_n以及等差数列的求和公式进行变形，即可表示出数列{b_n}前n项和T_n．

（1）设数列{a_n}的公比为q，…（1分）

若q=1，则S₁=a₁=1，2S₂=4a₁=4，3S₃=9a₁=9，故S₁+3S₃=10≠2×2S₂，与已知矛盾，故q≠1，…（2分）

∴S_n=

a1(1−qn)

1−q=

1−qn

1−q，…（4分）

由S₁，2S₂，3S₃成等差数列，得S₁+3S₃=2×2S₂，

即1+3×

1−q3

1−q=4×

1−q2

1−q，

解得：q=[1/3]，…（5分）

则a_n=a₁•q^n-1=（[1/3]）^n-1；…（6分）

（2）由（1）得，b_n=a_n+n=（[1/3]）^n-1+n，…（7分）

所以T_n=（a₁+1）+（a₂+2）+…+（a_n+n）

=S_n+（1+2+…+n）=

a1(1−qn)

1−q+

(1+n)n

2…（10分）

=

1−(

1

3)n

1−

1

3+

(1+n)n

2=

3+n+n2−3n−1

2．…（12分）

点评：

本题考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评： 此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．