已知三角形ABC的面积是1平方厘米,如图,AD=DE=EC,BG=GF=FC,求图中阴影部分的面积

1个回答

  • 设BD分别交AG和AF于P和Q,BE分别交AG和AF于P和Q

    如图,△ABC被分为9个部分,设△ABD里的三个部分的面积从左到右分别为a、b、c,△BDE里的三个部分的面积从左到右分别为d、e、f,△BCE里的三个部分的面积从左到右分别为g、h、i,阴影部分的面积就是h.

    显然有

    a+b+c=1/3

    d+e+f=1/3

    g+h+i=1/3

    a+d+g=1/3

    b+e+h=1/3

    c+f+i=1/3

    AG交△BCD于A、M、G,由梅涅劳斯定理,

    BM/MD * DA/AC * CG/GB = 1

    BM/MD * 1/3 * 2/1 = 1

    BM/MD=3/2

    a/(b+c)=BM/MD=3/2

    又a+b+c=1/3,所以b+c=1/3 - a

    所以a/(1/3 - a)=3/2

    a=1/5,

    AF交△BCD于A、N、F,由梅涅劳斯定理,

    BN/ND * DA/AC * CF/FB = 1

    BN/ND * 1/3 * 1/2 = 1

    BN/ND=6

    (a+b)/c=6

    (1/3 - c) / c = 6

    c=1/21

    所以,

    b = 1/3 - a - c = 1/3 - 1/5 - 1/21 = 3/35

    AG交△BCE于A、P、G,由梅涅劳斯定理,

    BP/PE * EA/AC * CG/GB = 1

    BP/PE * 2/3 * 2/1 = 1

    BP/PE = 3/4

    (a+d)/(b+c+e+f)=3/4

    (a+d)/(1/3 - a + 1/3 - d) = 3/4

    a+d=2/7

    d = 2/7 - 1/5 = 3/35

    AF交△BCE于A、Q、F,由梅涅劳斯定理,

    BQ/QE * EA/AC * CF/FB = 1

    BQ/QE * 2/3 * 1/2 = 1

    BQ/QE = 3

    (a+b+d+e)/(c+f) = 3

    (1/3 - c + 1/3 - f)/(c+f) = 3

    c+f=1/6

    f = 1/6 - 1/21 = 5/42

    所以,

    e = 1/3 - d - f = 1/3 - 3/35 - 5/42 = 9/70

    所以,

    阴影部分的面积h

    = 1/3 - b - e

    = 1/3 - 3/35 - 9/70

    = 5/42