设a1,a2,…,an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0.若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序

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  • 解题思路:设出数列的公差d,列举出数列的各项,讨论从第一项开始删去,由得到的数列为等比数列,利用等比数列的性质,列出关于d与首项的方程,求出方程的解即可得到d的值,根据d不为0,得到满足题意的d的值,即可求出满足题意的所有数对,组成集合的形式即可.

    设数列{an}的公差为d,则各项分别为:a1,a1+d,a1+2d,…,a1+(n-1)d,且a1≠0,d≠0,

    假设去掉第一项,则有(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d)2,解得d=0,不合题意;

    去掉第二项,有a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简得:4d2+a1d=0即d(4d+a1)=0,解得d=-

    a1

    4,

    因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项(a1+4d=0),所以数对(n,

    a1

    d)=(4,-4);

    去掉第三项,有a1(a1+3d)=(a1+d)2,化简得:d2-a1d=0即d(d-a1)=0,解得d=a1

    则此数列为:a,2a,3a,4a,…此数列仍然不会出现第五项,

    因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对(n,

    a1

    d)=(4,1);

    去掉第四项时,有a1(a1+2d)=(a1+d)2,化简得:d=0,不合题意;

    当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即d=0,不合题意.

    所以满足题意的数对有两个,组成的集合为{(4,-4),(4,1)}.

    故答案为:{(4,-4),(4,1)}

    点评:

    本题考点: 等比数列的性质;集合的表示法;等差数列的性质.

    考点点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道中档题.学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件.